Question

【感知】如圖①，∠MON=90°，OC平分∠MON．CD⊥OM于點(diǎn)D，CE⊥ON于點(diǎn)E，可知OD=OE．（不要求證明）
【拓展】在圖①中，作∠ACB=90°，CA，CB分別交射線OM，ON于A，B兩點(diǎn)，求證：AD=BE．
【應(yīng)用】如圖②，△OAB與△ABC均為直角三角形，OC平分∠AOB，O，C兩點(diǎn)在AB的異側(cè)．已知∠AOB=∠ACB=90°，OA=5，OB=3，求線段OC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：[拓展]如圖①，證明CD=CE；證明∠BCE=∠ACD；證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE．
[應(yīng)用]如圖②，作輔助線；類比（1）中的結(jié)論得到：OM=ON；結(jié)合OA=5，OB=3，得到5-λ=3+λ，λ=1；運(yùn)用勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答：解：【拓展】
∵OC平分∠MON，CD⊥OM，CE⊥ON，
∴CD=CE，∠CEB=∠CDA；
∵∠DOE=90°，
∴四邊形ODCE為正方形，
∴∠DCE=90°，CD=CE；
∵∠BCA=90°，
∴∠BCE=∠ACD；
在△ACD與△BCE中，

∠BEC=∠ADC CE=CD ∠BCE=∠ACD

，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD=BE．
【應(yīng)用】如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OA；
CN⊥OB，交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；
由（1）知：AM=BN（設(shè)為λ），
四邊形OMCN為正方形，
∴OM=ON；而OA=5，OB=3，
∴5-λ=3+λ，λ=1，
∴OM=CM=4；
由勾股定理得：OC²=4²+4²，
∴OC=4

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、正方形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握全等三角形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)．