Question

如圖，拋物線y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C．在此拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使直線OP與拋物線只有點(diǎn)P這個(gè)公共點(diǎn)？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：可設(shè)出直線OP的解析式為y=kx，聯(lián)立直線和拋物線的解析式消去y，根據(jù)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)可求得k的值，可求得交點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：
∵直線OP過(guò)原點(diǎn)，
∴可設(shè)直線OP的解析式為y=kx，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得

y=x2-4x+3 y=kx

，
消去y整理可得x²-（4+k）x+3=0，
∵直線OP與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程x²-（4+k）x+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0，即（4+k）²-4×3=0，解得k=±2

3

-4，
當(dāng)k=2

3

-4時(shí)，x²-（4+k）x+3=0的根為x₁=x₂=

3

，此時(shí)y=kx=（2

3

-4）×

3

=6-4

3

，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，6-4

3

）；
當(dāng)k=-2

3

-4時(shí)，x²-（4+k）x+3=0的根為x₁=x₂=-

3

，此時(shí)y=kx=（2

3

-4）×（-

3

）=4

3

-6，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，4

3

-6）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，6-4

3

）或（

3

，4

3

-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，求出直線OP的解析式是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．