Question

在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，連接AO、BO、CO，若AO=2，BO=1，CO=

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換,等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理,勾股定理的逆定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：要求等邊△ABC的面積，只需求BC長(zhǎng)，過點(diǎn)B作BE⊥OC，交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，只需求出BE和EC的長(zhǎng)．由條件容易發(fā)現(xiàn)CO、BO、AO三條線段構(gòu)成的三角形是直角三角形，因而可通過將△BOC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，把CO、BO、AO轉(zhuǎn)化到△ADO中，就可得到∠ADO=90°，進(jìn)而得到∠BOC=∠ADC=150°，則有∠BOE=30°，然后解Rt△BEO就可求出BE、OE的長(zhǎng)，就可解決問題．

解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴將△BOC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，
旋轉(zhuǎn)后的三角形記為△ADC，如圖．
∴AD=BO=1，∠BOC=∠ADC，CD=OC=

3

，∠OCD=60°，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OD=OC=

3

，∠ODC=60°，
∴AD²+OD²=1+3=4=AO²，
∴∠ADO=90°，
∴∠BOC=∠ADC=90°+60°=150°．
過點(diǎn)B作BE⊥CO，交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖所示，
則∠BOE=180°-150°=30°．
在Rt△BEO中，
∵BO=1，∠BOE═30°，
∴BE=

1

2

，OE=

OB2-BE2

=

3

2

．
在Rt△BEC中，
∵BE=

1

2

，CE=OC+OE=

3

+

3

2

=

3 3

2

，
∴BC=

BE2+CE2

=

7

，
∴S_△ABC=

3

4

BC²=

7 3

4

．
∴等邊△ABC的面積為

7 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理及其逆定理等知識(shí)，通過旋轉(zhuǎn)將CO、BO、AO轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中是解決本題的關(guān)鍵．