Question

如圖，已知⊙O的弦AB、CD互相垂直，OE垂直于AD于E，證明：BC=2OE．

Answer 1

考點：圓周角定理,三角形中位線定理

專題：證明題

分析：連結(jié)OA、OB、OC、BD，作OH⊥BC，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由OA=OD，OE⊥AD得∠1=

1

2

∠AOD，再根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠ABD，則∠1=∠ABD，同理可得∠2=∠BDC，
由CD⊥AB得∠BDF+∠FBD=90°，則∠1+∠2=90°，利用等角的余角相等得∠OAE=∠2，然后證明△OAE≌△BOH，得到OE=BH，于是有BC=2OE．

解答：證明：連結(jié)OA、OB、OC、BD，作OH⊥BC，如圖，
∵OA=OD，OE⊥AD，
∴∠1=

1

2

∠AOD，
而∠AOD=2∠ABD，
∴∠1=∠ABD，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，∠2=

1

2

∠BOC，
而∠BOC=2∠BCD，
∴∠2=∠BDC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDF+∠FBD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠2，
在△OAE和△BOH中

∠OEA=∠BHO ∠OAE=∠2 OA=OB

，
∴△OAE≌△BOH，
∴OE=BH，
∴BC=2OE．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和三角形全等的判定與性質(zhì)．