Question

11．已知，m，n是一元二次方程x²+4x+3=0的兩個實數(shù)根，且|m|＜|n|，拋物線y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0），B（0，n），如圖所示．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標，并判斷△BCD的形狀；
（3）點P是直線BC上的一個動點（點P不與點B和點C重合），過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，點Q在直線BC上，距離點P為$\sqrt{2}$個單位長度，設點P的橫坐標為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）先解一元二次方程，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先解方程求出拋物線與x軸的交點，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結論；
（3）先求出QF=1，再分兩種情況，當點P在點M上方和下方，分別計算即可．

解答 解（1）∵x²+4x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=-3，
∵m，n是一元二次方程x²+4x+3=0的兩個實數(shù)根，且|m|＜|n|，
∴m=-1，n=-3，
∵拋物線y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0），B（0，n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-_²x-3，
（2）令y=0，則x²-_²x-3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴C（3，0），
∵y=x²-_²x-3=（x-1）²-4，
∴頂點坐標D（1，-4），
過點D作DE⊥y軸，
∵OB=OC=3，
∴BE=DE=1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠DBE=45°，
∴∠CBD=90°，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如圖，

∵B（0，-3），C（3，0），
∴直線BC解析式為y=x-3，
∵點P的橫坐標為t，PM⊥x軸，
∴點M的橫坐標為t，
∵點P在直線BC上，點M在拋物線上，
∴P（t，t-3），M（t，t²-2t-3），
過點Q作QF⊥PM，
∴△PQF是等腰直角三角形，
∵PQ=$\sqrt{2}$，
∴QF=1，
當點P在點M上方時，即0＜t＜3時，
PM=t-3-（t²-2t-3）=-t²+3t，
∴S=$\frac{1}{2}$PM×QF=$\frac{1}{2}$（-t²-3t）=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t，
如圖3，當點P在點M下方時，即t＜0或t＞3時，
PM=t²-2t-3-（t-3），
∴S=$\frac{1}{2}$PM×QF=$\frac{1}{2}$（t²-3t）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一元二次方程的解法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關鍵是判定△BCD是直角三角形．