Question

19．在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，閱讀下列材料，回答問題：
（1）連結(jié)AC、BD，由三角形中位線的性質(zhì)定理可證四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）對角線AC、BD滿足條件AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形．
（3）對角線AC、BD滿足條件AC=BD時，四邊形EFGH是菱形．
（4）對角線AC、BD滿足條件AC⊥BD且AC=BD時，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線定理，可以證明所得四邊形的兩組對邊分別和兩條對角線平行，所得四邊形的兩組對邊分別是兩條對角線的一半，再根據(jù)平行四邊形的判定就可證明該四邊形是一個平行四邊形；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，所得四邊形要成為矩形，則需有一個角是直角，故對角線應(yīng)滿足互相垂直；
（3）在（1）的基礎(chǔ)上，所得四邊形要成為菱形，則需有一組鄰邊相等，故對角線應(yīng)滿足相等；
（4）聯(lián)立（2）和（3），所得四邊形要成為正方形，則需對角線垂直且相等．

解答 解：（1）連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD．
∴EF∥HG，EF=GH，F(xiàn)G∥EH，F(xiàn)G=EH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）要使四邊形EFGH是矩形，則需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；

（3）要使四邊形EFGH是菱形，則需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD；

（4）要使四邊形EFGH是正方形，綜合（2）和（3），則需AC⊥BD且AC=BD．
故答案是：平行四邊形；AC⊥BD；AC=BD；AC⊥BD且AC=BD．

點評 此題主要是對三角形的中位線定理的運(yùn)用．
同時熟記此題中的結(jié)論：
順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形；
順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是矩形；
順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形；
順次連接對角線垂直且相等的四邊形各邊中點所得四邊形是正方形．