Question

如圖所示，動(dòng)點(diǎn)A、B同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的速度都是每秒1個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)A沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)B沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)A、OB為鄰邊建立正方形OACB，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，假設(shè)A、B兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒：
（1）直接寫出直線OC的解析式；
（2）當(dāng)t=3秒時(shí)，求此時(shí)拋物線的解析式；此時(shí)拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得S_△BCD=6？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）在（2）的條件下，有一條平行于y軸的動(dòng)直線l，交拋物線于點(diǎn)E，交直線OC于點(diǎn)F，若以O(shè)、B、E、F四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（4）在動(dòng)點(diǎn)A、B運(yùn)動(dòng)的過程中，若正方形OACB內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)P，且滿足OP=

2

，CP=2，∠OPA=135°，直接寫出此時(shí)AP的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠AOC=45°，然后寫出直線OC的解析式即可；
（2）求出OA、OB，然后寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答，設(shè)BC邊上的高為h，利用三角形的面積求出h，從而確定出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求解即可；
（3）分點(diǎn)E在點(diǎn)F上方和下方兩種情況表示出EF，再根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等列方程求解即可；
（4）將△AOP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP′=AP，P′C=OP，∠AP′C=∠OPA，然后判斷出△APP′是等腰直角三角形，再求出∠PP′C=90°，利用勾股定理列式求出PP′，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是正方形，
∴∠AOC=45°，
∴直線OC的解析式為y=x；

（2）∵t=3秒，
∴OA=OB=3，
∴點(diǎn)B（0，3），C（3，3），
將點(diǎn)B、C代入拋物線得，

c=3 -9+3b+c=3

，
解得

b=3 c=3

，
∴拋物線解析式為y=-x²+3x+3，
設(shè)BC邊上的高為h，
∵BC=OA=3，S_△BCD=6，
∴h=4，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3-4=-1，
令y=-1，則-x²+3x+3=-1，
整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，D₁（-1，-1），D₂（4，-1）；

（3）∵OB=3，
∴EF=3，
設(shè)E（m，-m²+3m+3），F(xiàn)（m，m），
若E在F上方，則，-m²+3m+3-m=3，
整理得，m²-2m=0，
解得m₁=0（舍去），m₂=2，
∴F₁（2，2），
若F在E上方，則，m-（-m²+3m+3）=3，
整理m²-2m-6=0，
解得m₁=1-

7

，m₂=1+

7

，
∴F₂（1-

7

，1-

7

），
F₃（1+

7

，1+

7

）；

（4）如圖，將△AOP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′C，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AP′=AP，P′C=OP=

2

，∠AP′C=∠OPA=135°，
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠AP′P=45°，
∴∠PP′C=135°-45°=90°，
由勾股定理得，PP′=

PC2-P′C2

=

22-( 2 )2

=

2

，
所以，AP=

2

2

PP′=

2

2

×

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，難點(diǎn)在于（2）求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，（3）分情況討論，（4）利用旋轉(zhuǎn)作出等腰直角三角形和直角三角形．