Question

8．如圖，點P，D分別是⊙O上的動點、定點、非直徑弦CD⊥直徑AB，當點P與點C重合時，易證：∠DPB+∠ACD=90°，在不考慮點P于點B或點D重合的情況下，試解答如下問題：
（1）當點P與點A重合時（如圖1），∠DPB+∠ACD=90度．
（2）當點P在$\widehat{AC}$上時（如圖2），（1）中的結論還成立嗎？請給予證明．
（3）當點P在$\widehat{BD}$上時，先寫出∠DPB與∠ACD的數(shù)量關系，再說明其理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)垂徑定理得出AC=AD，故可得出∠ACD=∠ADC，∠AED=90°，再由∠DPB+∠ADC=90°即可得出結論；
（2）先根據(jù)垂徑定理得出$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，再由∠A+∠ACD=90°即可得出結論；
（3）連接AP，則∠BPD=∠BPA+∠APD，由圓周角定理得出∠BPA=90°，∠ACD=∠APD，進而可得出結論．

解答 解：（1）∵弦CD⊥直徑AB，
∴CE=DE，∠AED=90°，
∴∠ACD=∠ADC，∠AED=90°．
∵∠DPB+∠ADC=90°，
∴∠DPB+∠ACD=90°．
故答案為：90；

（2）成立．
理由：如圖2，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠DPB=∠A．
∵∠A+∠ACD=90°，
∴∠DPB+∠ACD=90°．

（3）∠DPB-∠ACD=90°．
理由：如圖3，連接AP，則∠BPD=∠BPA+∠APD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BPA=90°，∠ACD=∠APD，
∴∠BPD=90°+∠ACD，即∠BPD-∠ACD=90°．

點評 本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓周角定理及圓心角、弧、弦的關系，難度適中．