Question

11．如圖，菱形ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)A，D在第一象限，線段AB交y軸于E，且E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為AC和BD的交點(diǎn)，連接CE，有CE⊥AB，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2$\sqrt{3}$）；
（1）求直線CE的解析式；
（2）點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，過點(diǎn)P作PQ⊥BC交射線EC于點(diǎn)Q，△BCQ面積為S，求S與t之間的關(guān)系式并直接寫出t的取值范圍；
（3）BD上是否存在點(diǎn)F，使△CEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出線段MF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）如圖2中，分兩種情形①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，PC=3-t，PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（3-t），②當(dāng)t＞3時(shí)，PC=t-3，根據(jù)S=$\frac{1}{2}$•BC•PQ=即可解決問題．
（3）存在．如圖3中，由題意直線BD的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，設(shè)F（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{11}}{4}$m+$\frac{\sqrt{3}}{3}$），當(dāng)點(diǎn)F是Rt△CEF的直角頂點(diǎn)時(shí)，CE²=CF²+EF²，列出方程即可解決問題，當(dāng)F與D重合時(shí)，△ECF是直角三角形，此時(shí)MF₁=2$\sqrt{3}$，當(dāng)F與B重合時(shí)，△ECF是直角三角形，此時(shí)MF₂=2$\sqrt{3}$，

解答 解：（1）如圖1中，作AK⊥BC于K．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵CE⊥AB，EA=EB，
∴CA=CB=AB，
∴△ABC、△ACD是等邊三角形，
∵A（1，2$\sqrt{3}$），
∴AK=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AKC中，∵∠AKC=90°，∠CAK=30°，
∴KC=2，AC=AB=BC=4，
∴BO=OK=1，OE=$\frac{1}{2}$AK=$\sqrt{3}$，
∴E（0，$\sqrt{3}$），C（3，0），
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線CE的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．

（2）如圖2中，

①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，PC=3-t，PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（3-t），
∴S=$\frac{1}{2}$•BC•PQ=$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（3-t）=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+2$\sqrt{3}$．
②當(dāng)t＞3時(shí)，PC=t-3，
∴S=$\frac{1}{2}$•BC•PQ=$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（t-3）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-2$\sqrt{3}$．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2\sqrt{3}}{3}t+2\sqrt{3}}&{（0＜t≤3）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}t-2\sqrt{3}}&{（t＞3）}\end{array}\right.$．

（3）存在．理由如下，如圖3中，

由題意直線BD的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，設(shè)F（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{11}}{4}$m+$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
當(dāng)點(diǎn)F是Rt△CEF的直角頂點(diǎn)時(shí)，CE²=CF²+EF²，
∴3²+（$\sqrt{3}$）²=m²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\sqrt{3}$）²+（m-3）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
整理得2m²-5m-1=0，解得m=$\frac{5-\sqrt{33}}{4}$或$\frac{5+\sqrt{33}}{4}$，
∴F₃（$\frac{5+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{11}}{4}$），F(xiàn)₄（$\frac{5-\sqrt{33}}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{11}}{4}$），
∵M(jìn)（2，$\sqrt{3}$），
∴F₃M=$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)₄M=$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)F與D重合時(shí)，△ECF是直角三角形，此時(shí)MF₁=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)F與B重合時(shí)，△ECF是直角三角形，此時(shí)MF₂=2$\sqrt{3}$，
綜上所述，當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，MF的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．