Question

20．如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D是BC上的動(dòng)點(diǎn)，E、F分別在AB、AC上，∠EDF=90°，若以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則BD=$\frac{9}{5}$或$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 分△EDF∽△BAC、△EDF∽△CAB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和正切的定義計(jì)算即可．

解答 解：作EG⊥BC于G，F(xiàn)H⊥BC于H，
當(dāng)△EDF∽△BAC時(shí)，$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)EG=3a，DG=3b，
∵EG⊥BC，F(xiàn)H⊥BC，∠EDF=90°，
∴△EDG∽△DFH，
∴$\frac{EG}{DH}$=$\frac{DG}{FH}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{3}{4}$，
∴DH=4a，F(xiàn)H=4b，
∵tanB=$\frac{4}{3}$，tanC=$\frac{3}{4}$，
∴BG=$\frac{9a}{4}$，CH=$\frac{16b}{3}$，
則$\frac{9a}{4}$+3b+4a+$\frac{16b}{3}$=BC=5，
整理得，3a+4b=$\frac{12}{5}$，
∴BD=$\frac{9a}{4}$+3b=$\frac{3}{4}$（3a+4b）=$\frac{9}{5}$，
當(dāng)△EDF∽△CAB時(shí)，$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
同理可得，BD=$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{5}$或$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．