Question

如圖，AD為⊙O的直徑，DE切⊙O于D，AE交⊙O于C，求證：AD²=AC•AE．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：連結(jié)CD，如圖，先根據(jù)圓周角定理，由AD為⊙O的直徑得到∠ACD=90°，再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，由DE切⊙O于D得到∠ADE=90°，然后根據(jù)相似三角形的判定方法證明Rt△ACD∽R(shí)t△ADE，利用相似的性質(zhì)得

AC

AD

=

AD

AE

，再利用比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答：證明：連結(jié)CD，如圖，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∵DE切⊙O于D，
∴AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∵∠CAD=∠DAE，
∴Rt△ACD∽R(shí)t△ADE，
∴

AC

AD

=

AD

AE

，
∴AD²=AC•AE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．