Question

10．如圖，已知邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AE，作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分線于點(diǎn)F，設(shè)BE=x，△ECF的面積為y，下列圖象中，能大致表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 過F作FG⊥BC于G，求出FG=CG，求出△BAE∽△GEF，得出$\frac{AB}{EG}$=$\frac{BE}{FG}$，求出FG=x，代入y=$\frac{1}{2}$×CE×FG求出解析式，根據(jù)解析式確定圖象即可．

解答 解：過F作FG⊥BC于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG=$\frac{1}{2}$∠DCG=45°，
∵∠G=90°，
∴∠GCF=∠CFG=45°，
∴FG=CG，
∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，
∴△BAE∽△GEF，
∴$\frac{AB}{EG}$=$\frac{BE}{FG}$，
∵BE=x，
∴EG=BC-BE+CG=4-x+FG，
∴$\frac{4}{4-x+FG}$=$\frac{x}{FG}$，
解得：FG=x，
∴y=$\frac{1}{2}$×CE×FG=$\frac{1}{2}$×（4-x）•x，
即：y=2x-$\frac{1}{2}$x²，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、正方形性質(zhì)、角平分線定義、三角形面積的計(jì)算、相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用等知識(shí)，能用x的代數(shù)式把CE和FG的值表示出來是解決問題的關(guān)鍵．