Question

5．已知：在正方形ABCD中，點E、F分別是CB、CD延長線上的點，且BE=DF，聯(lián)結(jié)AE、AF、DE、DE交AB于點M．
（1）如圖1，當E、A、F在一直線上時，求證：點M為ED中點；
（2）如圖2，當AF∥ED，求證：AM²=AB•BM．

Answer 1

分析 （1）連接AC，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AD}{BE}$，根據(jù)已知條件得到四邊形AMDF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AM=DF，等量代換得到AM=BE，于是得到結(jié)論．

解答 （1）連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA，
∵BE=DF，∴CE=CF，
∴∠AEB=∠F=45°，
∴BE=BA=AD，
在△ADM和△BEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠EBM}\\{∠AMD=∠BME}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADM和△BEM，
∴DM=EM，即點M為ED中點；
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，
∴△ADM∽△BEM，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AD}{BE}$，
∵AM∥DF，AF∥DE，
∴四邊形AMDF是平行四邊形，
∴AM=DF，
∵BE=DF，
∴AM=BE，
∴$\frac{AM}{BM}=\frac{AB}{AM}$，
∴AM²=AB•BM．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．