Question

9．在△ABC中，設$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow b$，P是中線AE與中線CF的交點，則$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$．（用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示）

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意畫出圖形，利用三角形法則，求得$\overrightarrow{EA}$，又由P是中線AE與中線CF的交點，利用重心的性質(zhì)，即可求得$\overrightarrow{EP}$，繼而求得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow b$，AE是△ABC的中線，
∴$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{BE}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow a$，
∴$\overrightarrow{EA}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CA}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$，
∵P是中線AE與中線CF的交點，
∴$\overrightarrow{EP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{EA}$=$\frac{1}{3}$（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EP}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$．
故答案為：$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$．

點評 此題考查了平面向量的知識以及三角形重心的性質(zhì)．注意掌握三角形法則的應用是解此題的關鍵．