Question

如圖1，我們知道，若點C將切斷AB分成兩部分，且

AC

AB

=

BC

AC

，則稱點C為線段AB的黃金分割點．類似地，我們可以給出“黃金分割點”的定義：若直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分S₁，S₂，且

S1

S

=

S2

S1

，則稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）如圖2，在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（靠近B），則直線CD是△ABC的黃金分割線嗎？為什么？
（2）如圖3，在△ABC中，D為AB的黃金分割點（靠近B），過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，則直線EF也為△ABC的黃金分割線，請你說明理由．
（3）如圖4，四邊形ABCD中，點E為AC的一個黃金分割點（靠近A），請你畫出四邊形ABCD的一條黃金分割線，簡單寫出畫法步驟，并說明理由．

Answer 1

考點：黃金分割

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)三角形面積公式得到S_△ACD：S_△ABC=AD：AB，S_△BCD：S_△ACD=BD：AD，再根據(jù)黃金分割的定義得到AD：AB=BD：AD，所以S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，于是根據(jù)圖形的黃金分割線定義即可得到CD是△ABC的黃金分割線；
（2）根據(jù)三角形面積公式，由DE∥CE得到S_△DCF=S_△EDF，則S_△ACD=S_△AEF，S_△BCD=S_{四邊形BCFE}，利用S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD得到S_△AEF：S_△ABC=S_{四邊形BCFE}：S_△AEF，所以可判斷直線EF為△ABC的黃金分割線；
（3）連結BE、DE、BD，過點E作MN∥BD分別交AD、AB于M、N，連結BM，則BM為四邊形ABCD的一條黃金分割線．利用（2）的結論進行說明．

解答：解：（1）∵S_△ACD：S_△ABC=AD：AB，S_△BCD：S_△ACD=BD：AD，
又∵D是AB的黃金分割點，
∴AD：AB=BD：AD，
S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，
∴CD是△ABC的黃金分割線；
（2）∵DE∥CE，
∴S_△DCF=S_△EDF，
∴S_△ACD=S_△AEF，
∴S_△BCD=S_{四邊形BCFE}，
∵S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，
∴S_△AEF：S_△ABC=S_{四邊形BCFE}：S_△AEF，
∴直線EF為△ABC的黃金分割線；
（3）連結BE、DE、BD，過點E作MN∥BD分別交AD、AB于M、N，連結BM，則BM為四邊形ABCD的一條黃金分割線．理由如下：
∵點E為AC的一個黃金分割點（靠近A），
∴S_△AED：S_△DEC=S_△DCE：S_△ACD，S_△ABE：S_△EBC=S_△BCE：S_△ABC，
∵MN∥BD，
∴S_△MEB=S_△MED，
∴S_{四邊形BCDM}=S_{四邊形BCDE}=S_△DCE+S_△BCE，
S_△ABM=S_△ADE+S_△ABE，
∴S_△ABM：S_{四邊形BCDM}=S_{四邊形BCDM}：S_{四邊形ABCD}，
∴BM為四邊形ABCD的一條黃金分割線．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．