Question

12．如圖，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延長BA至點(diǎn)D，延長CB至點(diǎn)E，使BE=AD，連結(jié)CD，EA，延長EA交CD于點(diǎn)G．
（1）求證：△ACE≌△CBD；
（2）求∠CGE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）連接AC，易知△ABC是等邊三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠E=∠D，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CGE=∠ABC即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，
即CE=BD，
在△ACE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BD}\\{∠ACB=∠ABC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；

（2）如圖，連接AC，易知△ABC是等邊三角形，
由（1）可知△ACE≌△CBD，
∴∠E=∠D，
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，
∴∠CGE=∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠CGE=60°．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線構(gòu)造出探究的條件是解題的關(guān)鍵．