Question

16．下列說法：
①若關于x的方程x²-（a-3）x-3a-b²=0有兩個相等的實數(shù)根，則關于的方程x²+ax+b=0的兩根分別是x₁=0，x₂=3；
②若b=2a+c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；
③若m、n（m＜n）是關于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的兩根，且a＜b，則a，b，m，n的大小關系是m＜a＜b＜n，
其中正確的有（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①根據(jù)根的判別式求得a=-3，b=0，把a=-3，b=0代入x²+ax+b=0得：x²-3x=0，解得x₁=0，x₂=3；故①正確；
②根據(jù)根的判別式求得4a²+c²＞0，于是得到一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；故②正確；
③方程變形為（x-a）（x-b）=1，利用二次函數(shù)與異次函數(shù)圖象解決問題：二次函數(shù)y=（x-a）（x-b）與x軸兩個交點坐標為（a，0），（b，0），且直線y=1與拋物線y=（x-a）（x-b）的交點的橫坐標分別為m與n，于是可得到則a、b、m、n的大小關系．

解答 解：①∵關于x的方程x²-（a-3）x-3a-b²=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=[-（a-3）]²-4（-3a-b²）=（a+3）²+4b²=0，
∴a=-3，b=0，
把a=-3，b=0代入x²+ax+b=0得：x²-3x=0，
解得：x₁=0，x₂=3；故①正確；
②∵△=b²-4ac，b=2a+c，
∴△=（2a+c）²-4ac=4a²+c²，
∵a≠0，
∴4a²+c²＞0，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；故②正確；
③如圖，∵1-（x-a）（x-b）=0，
∴（x-a）（x-b）=1，
∵二次函數(shù)y=（x-a）（x-b）與x軸兩個交點坐標為（a，0），（b，0），
則直線y=1與拋物線y=（x-a）（x-b）的交點的橫坐標分別為m與n，
∴m＜a＜b＜n，故③正確．
故選D．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了圖象法解決數(shù)學問題．