Question

15．已知：l₁∥l₂∥l₃∥l₄，點E是l₁上的一點，過點E作EH⊥l₁，分別與l₂、l₃、l₄交于點F、G、H，EF=GH=1，F(xiàn)G=3，將四邊形ABCD放在平行線中，使其四個頂點分別落在直線l₁、l₂、l₃、l₄上．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且點D與點G重合，則正方形ABCD的面積為17．
（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，且點D與點G重合，AD=2CD，求矩形ABCD的面積；
（3）如圖3，若四邊形ABCD是菱形，且點A與點E重合，BD的延長線剛好經(jīng)過點H，求菱形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用已知得出△AED≌△DHC（AAS），即可得出正方形的邊長；
（2）根據(jù)已知條件得到EH⊥l₄，根據(jù)矩形的性質得到∠ADC=90°．根據(jù)余角的性質得到∠CDH=∠EAD．推出△ADE∽△DCH，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{AE}{HD}=\frac{AD}{CD}$，求得AE=2HD=2，根據(jù)勾股定理得到AD=2$\sqrt{5}$．得到CD=$\sqrt{5}$，即可得到結論；
（3）根據(jù)菱形的性質得到AD=CD，AC⊥BD，BD=2OD，∠ADB=∠CDB．根據(jù)全等三角形的性質得到CH=AH=5，∠DHA=∠DHC=45°．根據(jù)勾股定理得到AC=5$\sqrt{2}$，解直角三角形得到DH=$\sqrt{2}$，OH=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，根據(jù)菱形的面積公式即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，由題意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
在△AED和△DHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠DHC=90°}\\{∠3=∠2}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DHC（AAS），
∴AE=HD=1，
又∵DE=1+3=4，
∴正方形ABCD的邊長=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴正方形ABCD的面積=17，
故答案為：17；

（2）∵l₁∥l₄，EH⊥l₁，
∴EH⊥l₄，
∴∠AEG=∠GHC=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°．
∴∠ADE+∠CDH=90°，
∵∠ADE+∠EAD=90°
∴∠CDH=∠EAD．
又∵∠AEG=∠GHC，
∴△ADE∽△DCH，
∴$\frac{AE}{HD}=\frac{AD}{CD}$，
∵AD=2CD，
∴AE=2HD=2，
在△ADE中，∠AED=90°，AE=2，ED=4，
∴AD=2$\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{5}$，
∴矩形ABCD的面積為2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=10；

（3）如圖3，連接AC交BD于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AC⊥BD，BD=2OD，∠ADB=∠CDB，
∴∠ADH=∠CDH，
在△ADH與△CDH中$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADH=∠CDH}\\{DH=DH}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△CDH，
∴CH=AH=5，∠DHA=∠DHC=45°，
在Rt△ACH中，∠AHC=90°，
∴AC=5$\sqrt{2}$，
∵l₁∥l₃，EH⊥l₁，
∴EH⊥l₃，
∴∠DGH=90°，
在Rt△DGH中，GH=1，∠DHG=45°，
∴DH=$\sqrt{2}$，
在Rt△COH中，∠COH=90°，∠OHC=45°，CH=5，
∴OH=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴BD=3$\sqrt{2}$，
∴菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=15．

點評 此題主要考查了平行線的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性，相似三角形的判定和性質，菱形的面積的計算，熟練應用全等三角形的判定方法是解題關鍵．