Question

已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，點F從點M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連接PF，過點PE⊥PF交y軸于點E，設(shè)點F運動的時間是t秒（t＞0）
（1）若點E在y軸的負半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；
（2）在點F運動過程中，設(shè)OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接PM，PN，運用△PMF≌△PNE證明；
（2）分兩種情況①當t＞1時，點E在y軸的負半軸上，0＜t≤1時，點E在y軸的正半軸或原點上，再根據(jù)（1）求解．

解答：（1）證明：如圖，連接PM，PN，

∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，
∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE，
在△PMF和△PNE中，

∠NPE=∠MPE PN=PM ∠PNE=∠PMF

，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE=PF；
（2）解：分兩種情況：
①當t＞1時，點E在y軸的負半軸上，如圖1，

由（1）得△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE-ON=t-1，
∴b-a=1+t-（t-1）=2，
∴b=2+a，
②0＜t≤1時，如圖2，點E在y軸的正半軸或原點上，

同理可證△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON-NE=1-t，
∴b+a=1+t+1-t=2，
∴b=2-a．
綜上所述，當t＞1時，b=2+a；當0＜t≤1時，b=2-a．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是把圓的知識與全等三角形與相似三角形相結(jié)合找出線段關(guān)系．