Question

9．如圖，直角△ABC內接于⊙O，∠C=90°，點P在弧AB上移動，P，C分別位于AB的異側（P不與A，B重合），△PCD也為直角三角形，∠PCD=90°，且直角△PCD的斜邊PD經過點B，BA，PC相交于點E．
（1）當BA平分∠PBC時，求$\frac{BE}{CD}$的值；
（2）已知：AC=1，BC=2，求△PCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據圓周角定理得到∠PBA=∠CBA=∠ACP，證得∠BCD=∠CBA，根據平行線的性質得到∠BCD=∠BDC，根據等腰直角三角形的性質得到BC=BD，根據直角三角形的性質得到PB=BC，推出BE是△PCD的中位線，于是得到結論；
（2）根據相似三角形的性質得到$\frac{PC}{CD}=\frac{AC}{CB}=\frac{1}{2}$，由三角形的面積公式得到S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC•CD=$\frac{1}{2}$PC•2PC=PC²，當CP最大時，△PCD的面積最大，即PC為⊙O的直徑時，△PCD的面積最大，即可得到結論．

解答 解：（1）連接PA，
∴∠PBA=∠CBA=∠ACP，
∵∠ACP=∠BCD，
∴∠BCD=∠CBA，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BC=BD，
∵∠PCD=90°，
∴PB=BC，
∴BE是△PCD的中位線，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{1}{2}$；

（2）∵∠PCD=∠ACB=90°，∠ABC=∠D，
∴△ABC∽△PCD，
∴$\frac{PC}{CD}=\frac{AC}{CB}=\frac{1}{2}$，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC•CD=$\frac{1}{2}$PC•2PC=PC²，
當CP最大時，△PCD的面積最大，
即PC為⊙O的直徑時，△PCD的面積最大，
∴當CP=AB=$\sqrt{5}$時，△PCD的最大面積為（$\sqrt{5}$）²=5．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，連接AP構造直角三角形是解題的關鍵．