Question

6．如圖，△ABE與△CDE是兩個全等的等邊三角形，且EA⊥ED．有下列四個結(jié)論：（1）∠EBC=15°；（2）AD∥BC；（3）直線CE與AB垂直；（4）四邊形ABCD是軸對稱圖形．其中正確的結(jié)論有（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 （1）先求出∠BPC的度數(shù)是360°-60°×2-90°=150°，再根據(jù)對稱性得到△BPC為等腰三角形，∠PBC即可求出；根據(jù)題意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；結(jié)合軸對稱圖形的定義與判定，可得四邊形ABCD是軸對稱圖形，進(jìn)而可得②③④正確

解答 解：∵△ABP≌△CDP，
∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．
∵△ABP與△CDP是兩個等邊三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°．
（1）根據(jù)題意，∠BPC=360°-60°×2-90°=150°
∵BP=PC，
∴∠PBC=（180°-150°）÷2=15°，
故本選項正確；
（2）∵∠ABC=60°+15°=75°，
∵AP=DP，
∴∠DAP=45°，
∵∠BAP=60°，
∴∠BAD=∠BAP+∠DAP=60°+45°=105°，
∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，
∴AD∥BC；
故本選項正確；
（3）延長CP交于AB于點O．
∠APO=180°-（∠APD+∠CPD）=180°-（90°+60°）=180°-150°=30°，
∵∠PAB=60°，
∴∠AOP=30°+60°=90°，
故本選項正確；
（4）根據(jù)題意可得四邊形ABCD是軸對稱圖形，
故本選項正確．
綜上所述，以上四個命題都正確．
故選A．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，平行線的判定的運用，軸對稱圖形的定義與判定，如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對稱軸．