Question

16．如圖，AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，且AC=5，BD=11，CD=12．
（1）在直線l上找一點M，使MA=MB，求點M到點D的距離．
（2）在直線l上找一點N，使NA+NB最小，求出這個最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)做出線段AB的垂直平分線進而得出與直線l的交點M，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，作A的對稱點E，連接BE交CD于N，則此時NA+NB最小，即BE=AN+BN，過E作EF⊥BD交BD的延長線于F，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接AB，作AB的垂直平分線交CD于M，則點M即為所示，
∵AC=5，BD=11，CD=12，
∴CM=12-DM，
∵AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，
∴AC²+CM²=DM²+BD²，
即5²+（12-DM）²=DM²+11²，
∴DM=$\frac{37}{6}$；

（2）如圖2，作A的對稱點E，連接BE交CD于N，則此時NA+NB最小，即BE=AN+BN，
過E作EF⊥BD交BD的延長線于F，
∴BF=11+5=16，EF=CD=12，
∴BE=$\sqrt{E{F}^{2}+B{F}^{2}}$=20，
∴這個最小值是20．

點評 此題主要考查了線段垂直平分線的作法，軸對稱-最短路徑問題，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．