Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′OB′．
（1）求直線A′B′所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）若直線A′B′與直線AB相交于點(diǎn)C，求△A′BC的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A′、B′的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線A′B′的解析式即可；
（2）直接根據(jù)A′BC的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，4）．
由旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)分別為（0，-2）、（4，0）．               
設(shè)直線A′B′所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ 4k+b=0.\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=-2.\end{array}\right.$．
∴直線A′B′所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為$y=\frac{1}{2}x-2$．
（2）依題意有$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$，
解得$x=\frac{12}{5}$．
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為$\frac{12}{5}$．
∵A′B=4-（-2）=6，
∴${S_{△A'BC}}=\frac{1}{2}A'B•x{\;}_C=\frac{1}{2}×6×\frac{12}{5}=\frac{36}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的是一次函數(shù)的圖象與及幾何變換、一次函數(shù)的性質(zhì)及三角形的面積公式，根據(jù)題意求出直線A′B′的解析式是解答此題的關(guān)鍵．