Question

如圖，BE是等腰△ABC的角平分線，∠C=90°，延長BC到D，使CD=CE，連結(jié)AD與BE的延長線交于F，求證：AE•AC=2AF²．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，連接CF；首先證明A、B、C、E四點(diǎn)共圓，得到∠AFB=∠ACB=90°，∠BFD+∠ACD=180，進(jìn)而證明E、F、D、C四點(diǎn)共圓，得到AE•AC=AF•AD；證明AD=2AF，即可解決問題．

解答：證明：連接CF；
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠EBC=∠FAC，
∴A、B、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠AFB=∠ACB=90°，∠BFD+∠ACD=180°，
∴E、F、D、C四點(diǎn)共圓，
∴AE•AC=AF•AD；
在△ABF與△DBF中，

∠ABF=∠DBF BF=BF ∠AFB=∠DFB

，
∴△ABF≌△DBF（ASA），
∴AF=DF，AD=2AF，
∴AE•AC=2AF²．

點(diǎn)評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．