Question

16．如圖1，邊長(zhǎng)為a的正方形發(fā)生形變后成為邊長(zhǎng)為a的菱形，如果這個(gè)菱形的一組對(duì)邊之間的距離為h，記$\frac{a}{h}$=k，我們把k叫做這個(gè)菱形的“形變度”．
（1）若變形后的菱形有一個(gè)內(nèi)角是45°，則k=$\sqrt{2}$．
（2）如圖2，已知菱形ABCD，若k=$\frac{3}{2}$．
①這個(gè)菱形形變前的面積與形變后的面積之比為3：2；
②點(diǎn)E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，求四邊形EFGH形變前與形變后的面積之比．
（3）如圖3，正方形ABCD由16個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，形變后成為菱形A′B′C′D′，△AEF（E、F是小正方形的頂點(diǎn)），同時(shí)形變?yōu)椤鰽′E′F′，設(shè)這個(gè)菱形的“形變度”為k．
①對(duì)于△AEF與△A′E′F′的面積之比你有何猜想？并證明你的猜想．
②當(dāng)△AEF與△A′E′F′的面積之比等于4：$\sqrt{7}$時(shí)，請(qǐng)求出A′C′的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)成45°的直角三角形，利用45°的正弦列式求出k的值；
（2）①由k的值得$\frac{a}{h}$=$\frac{3}{2}$，將面積相比并約分可得出結(jié)論；
②先表示出形變前四邊形EFGH形面積為$\frac{1}{2}{a}^{2}$，再根據(jù)中位線定理表示出形變后四邊形EFGH的面積，相比即可，發(fā)現(xiàn)比值不變；
（3）①作輔助線構(gòu)建直角三角形，猜想：△AEF與△A′E′F′的面積之比是k，根據(jù)$\frac{A′B′}{D′G}$=k，分別計(jì)算△AEF與△A′E′F′的面積，并相比即可；
②利用①的結(jié)論，則k=$\frac{4}{\sqrt{7}}$，利用勾股定理求出B′H和A′C′即可．

解答 解：（1）如圖1，∵∠B=45°，
∴sin∠B=$\frac{h}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k=$\frac{a}{h}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
故答案為：$\sqrt{2}$；
（2）①如圖2，∵k=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{a}{h}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{S}_{正方形}}{{S}_{菱形}}$=$\frac{{a}^{2}}{ah}$=$\frac{a}{h}$=$\frac{3}{2}$，
故答案為：3：2；
②如圖3，連接AC、BD，
∵點(diǎn)E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴四邊形EFGH形變前面積為$\frac{1}{2}{a}^{2}$，
∵EH是△ABD的中位線，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，同理EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴S_矩形EFGH=EH•EF=$\frac{1}{2}$BD•$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$ah，
∴四邊形EFGH形變前與形變后的面積之比為：$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}}{\frac{1}{2}ah}$=$\frac{a}{h}$=$\frac{3}{2}$；
（3）①如圖4，猜想：△AEF與△A′E′F′的面積之比是k，
理由是：設(shè)A′D′的中點(diǎn)為H，過(guò)D′作D′G⊥A′B′，交B′A′的延長(zhǎng)線于G，則$\frac{A′B′}{D′G}$=k，
∵A′B′=B′C′=C′D′=D′A′=4，
∴D′G=$\frac{4}{k}$，
∴S_{?A′B′C′D′}=A′B′•D′G′=4×$\frac{4}{k}$=$\frac{16}{k}$，
∴S_{△A′E′F′}=S_△A′HF′=$\frac{1}{4}$S_{?A′B′C′D′}，
∴S_{△A′E′F′}=$\frac{1}{4}$•$\frac{16}{k}$=$\frac{4}{k}$，
S_△AEF=12-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×3=4，
∴△AEF與△A′E′F′的面積之比為：$\frac{4}{\frac{4}{k}}$=k；
②如圖5，當(dāng)△AEF與△A′E′F′的面積之比等于4：$\sqrt{7}$時(shí)，則k=$\frac{4}{\sqrt{7}}$，
過(guò)A′作A′H⊥B′C′于H，
∴$\frac{A′B′}{A′H}=\frac{4}{\sqrt{7}}$，
∵A′B′=4，
∴A′H=$\sqrt{7}$，
∴B′H=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{7}）^{2}}$=3，
∴HC′=4-3=1，
由勾股定理得：A′C′=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}+{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題四邊形的綜合題，考查了正方形、菱形的性質(zhì)，正方形的面積和菱形的面積的求法，及格點(diǎn)三角形的面積，還利用了同底等高的三角形的面積相等；同時(shí)還訓(xùn)練了學(xué)生的閱讀理解能力，及對(duì)新定義的理解和運(yùn)用．