Question

2．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點，
（1）求證：AC²=AB•AD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若AD=5，AB=8，求$\frac{AC}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩組對角對應相等的兩個三角形相似證明即可；
（2）根據(jù)直角三角形的性質得到CE=BE=AE，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠EAC=∠ECA，根據(jù)平行線的判定定理證明即可；
（3）證明△AFD∽△CFE，根據(jù)相似三角形的性質定理列出比例式，解答即可．

解答 （1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD；
（2）證明：∵E為AB的中點，
∴CE=BE=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=×8=4，
∵AD=5，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、平行線的判定，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．