Question

9．如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，BC的延長線與⊙O的切線AF交于點F．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，EB=2，求圓心O到BE的距離．

Answer 1

分析 （1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切線，易證得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，證得：∠ABC=2∠CAF；
（2）連接AE，過點O作OH⊥BE，設(shè)CE=x，易證OH是三角形ABE的中位線，所以求出AE的長，則OH的長可求出，即圓心O到BE的距離可求出．

解答 （1）證明：如圖1所示，連接BD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切線，
∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF；
（2）連接AE，過點O作OH⊥BE，如圖2所示
∵AB是⊙O的直徑，
∴AE⊥BE，
∵AO=BO，
∴BH=EH，
∴OH是△AEB的中位線，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
設(shè)CE=x，則BC=BE+CE=x+2，
∴AB=x+2，
∴AE²=AC²-CE²=$\frac{10}{4}$-x²，
∴AB²=AE²+BE²=$\frac{10}{4}$-x²+4，
即（x+2）²=$\frac{10}{4}$-x²+4，
解得：x=0.5或-2.5（舍），
∴AE=$\frac{9}{4}$，
∴OH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{9}{8}$．

點評 本題主要考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)以及勾股定理，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵．