Question

2．如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB=30°，點D、E分別是AC、BC的中點，直線DE交⊙O于F、G兩點．若⊙O的半徑7，則FD+EG的最大值為10.5．

Answer 1

分析 由點D、E分別是AC、BC的中點，根據(jù)三角形中位線定理得出ED=$\frac{1}{2}$AB為定值，則GE+FD=GF-DE，所以當(dāng)GF取最大值時，GE+FD有最大值．而直徑是圓中最長的弦，故當(dāng)GF為⊙O的直徑時，可求得GE+FD的最大值．

解答 解：當(dāng)GF為⊙O的直徑時，GE+FD有最大值．
當(dāng)GF為直徑時，D點與O點重合，
∴AC也是直徑，AC=14．
∵∠ABC是直徑所對的圓周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC=7．
∵點E、D分別為AC、BC的中點，
∴ED=$\frac{1}{2}$AB=3.5，
∴GE+FD=GF-ED=14-3.5=10.5．
故答案為10.5．

點評 本題考查的是三角形中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)和圓周角定理，綜合運用以上定理是解題的關(guān)鍵，解答時，注意直徑是圓中最長的弦．