Question

18．如圖（1），點(diǎn)P、Q分別在x軸、y軸上．

（1）已知點(diǎn)P（3，0），Q（0，4），點(diǎn)M在線段PQ上，直線OM把△POQ分成兩個(gè)三角形，且這兩個(gè)三角形的面積的比是2：1．求直線OM的函數(shù)解析式；
（2）如圖（2），已知P（m，0），Q（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象與線段PQ交于C、D兩點(diǎn)，若S_△POC=S_△COD=S_△DOQ，求n的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)結(jié)合三角形的面積公式可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由此即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F．由S_△POC=S_△COD=S_△DOQ可得出PC=CD=DQ，即OE=EF=FP，再根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出“OE=$\frac{1}{3}$m，OF=$\frac{2}{3}$m”，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+n，由點(diǎn)P（m，0）結(jié)合待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可得出直線PQ的解析式，將反比例函數(shù)解析式代入直線解析式中，由根與系數(shù)的關(guān)系可表示出x₁•x₂，結(jié)合OE=$\frac{1}{3}$m、OF=$\frac{2}{3}$m即可求出n的值．

解答 解：（1）結(jié)合題意畫出圖形，如圖（1）所示．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）．
則S_△POM=$\frac{1}{2}$y•OP，S_△QOM=$\frac{1}{2}$x•OQ．
點(diǎn)P（3，0），Q（0，4），
∴OP=3，OQ=4．
當(dāng)S_△POM：S_△QOM=1：2時(shí)，有6y=4x，
∴此時(shí)直線OM的函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{3}$x；
當(dāng)S_△POM：S_△QOM=2：1時(shí)，有3y=8x，
∴此時(shí)直線OM的函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{3}$x．
綜上知：直線OM的函數(shù)解析式為y=$\frac{2}{3}$x或y=$\frac{8}{3}$x．
（2）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖2所示．

∵S_△POC=S_△COD=S_△DOQ，
∴PC=CD=DQ，即OE=EF=FP，
∵OP=3OE=m，
∴OE=$\frac{1}{3}$m，OF=$\frac{2}{3}$m．
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+n，
∵點(diǎn)P（m，0）在直線PQ上，
∴0=km+n，解得：k=-$\frac{n}{m}$，
即直線PQ的解析式為y=-$\frac{n}{m}$x+n．
令-$\frac{n}{m}$x+n=$\frac{m}{x}$，即nx²-mnx+m²=0，
則x₁•x₂=OE•OF=$\frac{{m}^{2}}{n}$=$\frac{1}{3}$m×$\frac{2}{3}$m，
解得：n=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵：（1）結(jié)合三角形的面積公式找出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出關(guān)于n的一元一次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．