Question

17．如圖，已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，y₁），（-1，y₂），（1，0），且y₁＜0＜y₂，對(duì)于以下結(jié)論：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③a＜-$\frac{1}{2}$c；④在-2＜x＜-1中存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使得x₀=-$\frac{a+b}{a}$，其中正確的個(gè)數(shù)有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①正確．畫(huà)出函數(shù)圖象即可判斷．
②錯(cuò)誤．由圖象可知，-$\frac{2a}$＞-$\frac{1}{2}$，推出b＞a，故b-a可以是正數(shù)，所以a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a＞0，故錯(cuò)誤．
③正確．由a＜0，得到b＞a，得到a-b＜0，推出a-b=a-（-a-c）=2a+c＜0，于是得到結(jié)論；
④令y=0則ax²+bx-a-b=0，設(shè)它的兩個(gè)根為x₁，1，則x₁•1=$\frac{-a-b}{a}$=-$\frac{a+b}{a}$，求出x₁即可解決問(wèn)題．

解答 解：由題意二次函數(shù)圖象如圖所示，
∴a＜0．b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①正確．
∵-$\frac{2a}$＞-$\frac{1}{2}$，
∵a＜0，
∴b＞a，
∴b-a＞0，
∵a+b+c=0，
∴c=-a-b，
∴a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a＞0，
∴a+3b+2c≤0，故②錯(cuò)誤．
∵a＜0，
∴b＞a，
∴a-b＜0，
∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴a-b=a-（-a-c）=2a+c＜0，
∴a+$\frac{1}{2}$c＜0，
∴a＜-$\frac{1}{2}$c；故③正確；
∵y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），
∴a+b+c=0，
∴c=-a-b，
令y=0則ax²+bx-a-b=0，設(shè)它的兩個(gè)根為x₁，1，
∵x₁•1=$\frac{-a-b}{a}$=-$\frac{a+b}{a}$，
∴x₁=-$\frac{a+b}{a}$，
∵-2＜x₁＜x₂，
∴在-2＜x＜-1中存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使得x₀=-$\frac{a+b}{a}$，故④正確，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．