Question

（本題滿分10分）如圖的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的切線交于點G，并與AB延長線交于點E．

（1）求證：∠1=∠2．

（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）連接OD，因為DE為⊙O的切線，所以O(shè)D⊥DE，又OC⊥OB，然后根據(jù)互余的關(guān)系可證∠1=∠2；（2）由（1）中∠1=∠2可得EF=ED，設(shè)DE=x，在Rt△ODE中，由勾股定理求得x =4，然后證Rt△EOD∽Rt△EGA．可求出AG的長．

試題解析：（1）證明：如圖，連接OD，

∵DE為⊙O的切線，∴OD⊥DE．∴∠ODE=90°，即∠2 ∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC．∴∠2 ∠C=90°．∵OC⊥OB，∴∠C ∠3=90°．∴∠2=∠3,∵∠1=∠3，∴∠1=∠2．

（2）∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，∴OF=1．∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，設(shè)DE=x，則EF=x，OE=1+x，所以，解得x =4．∴DE=4，OE=5．

∵AG為⊙O的切線，∴AG⊥AE．∴∠GAE=90°．∴∠ODE=∠GAE，∵∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA．解得AG=6．

考點：1．切線的性質(zhì)；2．等腰三角形的判定和性質(zhì)；3．勾股定理；4．相似三角形的判定和性質(zhì)．