Question

6．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交$\widehat{AB}$于點(diǎn)E，以點(diǎn)C為圓心，OA的長(zhǎng)為直徑作半圓交OE于點(diǎn)D．若OA=4，則圖中陰影部分的面積為$\frac{5π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OE，根據(jù)CE⊥OA且OA=4可知OC=2，故cos∠EOC=$\frac{OC}{OE}$=$\frac{1}{2}$，由此可得出∠COE的度數(shù)，進(jìn)而得出∠BOE的度數(shù)，根據(jù)S_陰影=S_扇形AOB-S_扇形ACD-S_扇形BOE-S_△COE即可得出結(jié)論．

解答 解：連接OE，
∵C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA且OA=4，
∴OC=2，
∴cos∠EOC=$\frac{OC}{OE}$=$\frac{1}{2}$，CE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠COE=60°．
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE=30°，
∴S_陰影=S_扇形AOB-S_扇形ACD-S_扇形BOE-S_△COE
=$\frac{90π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{30π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$
=4π-π-$\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$
=$\frac{5π}{3}$-2$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{5π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求出∠COE的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．