Question

2．已知函數(shù)y=x²-mx+m-2．
（1）求證：無論m取什么值，它的圖象與x軸總有兩個交點；
（2）當m取何值時，這兩個交點間的距離最��？并求出最小距離．

Answer 1

分析 （1）令二次函數(shù)解析式中y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可；
（2）由（1）知圖象與x軸的兩個交點，用m表示出|x₁-x₂|，再求出最小值即可．

解答 解：（1）令y=0，得：x²-mx+m-2=0，
則△=m²-4（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
無論m取什么值，它的圖象與x軸總有兩個交點；
（2）設二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標為x₁，x₂；
根據(jù)（1）可知，x₁+x₂=m，x₁x₂=m-2，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（m-2）^{2}+4}$，
要使拋物線的圖象與x軸的兩個交點的距離最小，即|當m=2時，|x₁-x₂|最小，此時最小值為2．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，求出拋物線與x軸的兩交點坐標是解決問題的關(guān)鍵．