Question

7．如圖，對(duì)稱軸為直線x=$\frac{7}{2}$的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）和B（0，-4）．
（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)（2）中的平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸、A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的面積公式，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)函數(shù)值，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)菱形的判定，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=\frac{7}{2}}\\{36a+6b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{14}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{14}{3}$x-4，
配方，得
y=-$\frac{2}{3}$（x-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{25}{6}$，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，$\frac{25}{6}$）；
（2）E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{14}{3}$x-4），
S=2×$\frac{1}{2}$OA•y_E=6（-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{14}{3}$x-4）
即S=-4x²+28x-24；
（3）平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，平行四邊形OEAF可能為菱形，理由如下：
當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，即
-4x²+28x-24=24，
化簡，得
x²-7x+12=0，解得x=3或4，
當(dāng)x=3時(shí)，EO=EA，平行四邊形OEAF為菱形．
當(dāng)x=4時(shí)，EO≠EA，平行四邊形OEAF不為菱形．
∴平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，平行四邊形OEAF可能為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，配方法求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；利用平行四邊形性質(zhì)是解題關(guān)鍵；利用方程的判別式是解題關(guān)鍵．