Question

15．如圖，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，P是AB上一點，BP=3，Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點A′．當(dāng)CA′的長度最小時，CQ的長為（　�。�

• A． 5
• B． 7
• C． 8
• D． $\frac{13}{2}$

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷△ABC為等邊三角形，則CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，AH=BH=4，再利用勾股定理計算出CP=7，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得點A′在以P點為圓心，PA為半徑的弧上，利用點與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點A′在PC上時，CA′的值最小，然后證明CQ=CP即可．

解答 解：作CH⊥AB于H，如圖，
∵菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，AH=BH=4，
∵PB=3，
∴HP=1，
在Rt△CHP中，CP=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=7，
∵梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點A′，
∴點A′在以P點為圓心，PA為半徑的弧上，
∴當(dāng)點A′在PC上時，CA′的值最小，
∴∠APQ=∠CPQ，
而CD∥AB，
∴∠APQ=∠CQP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP=7．
故選B．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了折疊的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是確定A′在PC上時CA′的長度最�。�