Question

（1）求證：不論x為何實數(shù)，多項式3x²-5x-1的值總大于2x²-4x-7的值；
（2）當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，判斷三條線段m²-2m-3、m²-4、m²+2m-3能否作為三角形的三條邊．

Answer 1

考點：配方法的應(yīng)用,非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方,三角形三邊關(guān)系

專題：計算題

分析：（1）利用求差法證明：計算3x²-5x-1-（2x²-4x-7）=x²-x+6，配方得到（x-

1

2

）²+

23

4

，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊，把三條線段中的任意兩條相加后與第三條線段比較大小，比較大小的方法與（1）一樣，若滿足三條線段中的任意兩條相加后都大于第三條線段，則可判斷三條線段可作為三角形的三條邊．

解答：（1）證明：3x²-5x-1-（2x²-4x-7）=x²-x+6
=x²-x+

1

4

-

1

4

+6
=（x-

1

2

）²+

23

4

，
∵（x-

1

2

）²≥0，
∴（x-

1

2

）²+

23

4

＞0，
即3x²-5x-1＞2x²-4x-7；
（2）解：∵m²-2m-3+m²-4-（m²+2m-3）=m²-4m-4=（m-2）²-8，
而m≥5，
∴（m-2）²-8＞0，即m²-2m-3+m²-4＞m²+2m-3；
∵m²-2m-3+m²+2m-3-（m²-4）=m²-2，
而m≥5，
∴m²-2，即m²-2m-3+m²+2m-3＞m²-4；
∵m²-4+m²+2m-3-（m²-2m-3）=m²+4m-4=（m+2）²-8，
而m≥5，
∴（m+2）²-8＞0，即m²-4+m²+2m-3＞m²-2m-3，
∴三條線段m²-2m-3、m²-4、m²+2m-3能作為三角形的三條邊．

點評：本題考查了配方法的應(yīng)用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值（二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方）．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系．