Question

拋物線y=ax²+bx+c對稱軸為直線x=-1，與x軸交于A（-3，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接AC、CD、DA，試判斷△ACD的形狀，并說明理由；
（3）若點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、Q、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)對稱軸的解析式，以及函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足函數(shù)解析式，即可列方程組求得a、b、c的值，求得函數(shù)的解析式；
（2）求得D的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求得AC、CD和DA的長，利用勾股定理的逆定理即可判斷；
（3）分AB是一邊和AB是對角線兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

- b 2a =-1 c=3 9a-3b+c=0

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
則拋物線的解析式是y=-x²-2x+3；
（2）在y=-x²-2x+3中令x=-1，則y=4，則D的坐標(biāo)是（-1，4）．
則AC=

32+32

=3

2

，
CD=

(-1)2+(4-3)2

=

2

，
DA=

(-3+1)2+42

=2

5

，
∵（3

2

）²+（

2

）²=（2

5

）²，即AC²+CD²=DA²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；
（3）在y=-x²-2x+3中令y=0，解得：x=-3，或1，
則B的坐標(biāo)是（1，0）．
則AB=4．
當(dāng)AB是平行四邊形的一條邊時(shí)，Q一定在AB的下方，則QP=AB=4，
則P的橫坐標(biāo)是：-5或3．
當(dāng)x=-5時(shí)，y=-25+10+3=-12，則P的坐標(biāo)是（-5，-12）；
當(dāng)x=3時(shí)，y=-12，則P的坐標(biāo)是（3，-12）；
當(dāng)AB是對角線時(shí)，P一定與D重合，則坐標(biāo)是（-1，4）．
故P的坐標(biāo)是（-5，-12）或（3，-12）或（-1，4）．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，以及勾股定理的逆定理，正確對平行四邊形進(jìn)行討論是關(guān)鍵．