Question

8．已知關(guān)于x的方程x²+kx+$\frac{3}{4}$k²-3k+$\frac{9}{2}$=0（k為實數(shù)）的兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂，則$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2．

Answer 1

分析 先根據(jù)方程有實數(shù)根，利用根的判別式可得k²-4（$\frac{3}{4}$k²-3k+$\frac{9}{2}$）≥0，整理得-2（k-3）²≥0，而（k-3）²≤0，可求k=3，把k=3代入方程，再解方程可得x₁=x₂=-$\frac{3}{2}$，進而可求則$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$ 的值．

解答 解：根據(jù)題意可得
∵方程有實數(shù)根，
∴△=b²-4ac≥0，
即k²-4（$\frac{3}{4}$k²-3k+$\frac{9}{2}$）≥0，
∴-2（k-3）²≥0，
∵（k-3）²≤0，
∴k-3=0，
即k=3，
∴原方程為：x²+3x+$\frac{9}{4}$=0，
∴x₁=x₂=-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（-\frac{3}{2}）^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}}{-\frac{3}{2}×（-\frac{3}{2}）}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、解方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式先求出k．