Question

10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)C₁：y=ax²經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1）．
（1）求拋物線(xiàn)C₁的解析式；
（2）將拋物線(xiàn)C₁平移后得到拋物線(xiàn)C₂，若拋物線(xiàn)C₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，請(qǐng)你說(shuō)明：將拋物線(xiàn)C₁如何平移可得到拋物線(xiàn)C₂；
（3）將（2）中得到的拋物線(xiàn)C₂沿其對(duì)稱(chēng)軸向下平移，得到拋物線(xiàn)C₃，設(shè)拋物線(xiàn)C₃的頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)OA與拋物線(xiàn)C₃的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為P，當(dāng)OP=AP時(shí)．求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠ABP的正弦值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（1，-1）代入拋物線(xiàn)解析式，列出關(guān)于系數(shù)a的方程，通過(guò)方程來(lái)求a的值；
（2）利用待定系數(shù)法求得平移后拋物線(xiàn)的解析式，易求平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)平移前后頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化來(lái)推斷拋物線(xiàn)的平移規(guī)律；
（3）需要對(duì)點(diǎn)A的位置進(jìn)行分類(lèi)討論：點(diǎn)A在x軸的上方和點(diǎn)A在x軸的下方兩種情況．根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)易求直線(xiàn)OA的解析式，由直線(xiàn)OA和拋物線(xiàn)C₃的交點(diǎn)來(lái)求點(diǎn)B的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）把（1，-1）代入y=ax²，
得a=-1，
故該拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x²；

（2）拋物線(xiàn)C₂是由拋物線(xiàn)C₁向右平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的．理由如下：
設(shè)拋物線(xiàn)C₂的解析式為：y=-（x-1）²+k．
把（0，2）代入，
得 2=-1+k，
解得k=3．
故拋物線(xiàn)C₂的解析式為：y=-（x-1）²+3，
則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．
所以由拋物線(xiàn)C₁的頂點(diǎn)（0，0）向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，3）．
所以，拋物線(xiàn)C₂是由拋物線(xiàn)C₁向右平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的．

（3）當(dāng)OP=AP時(shí)，A（1，1）或（1，-1）．
當(dāng)A（1，1）時(shí)，y=-（x-1）²+1，直線(xiàn)OA與拋物線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)B．
故A（1，-1）．
所以?huà)佄锞�(xiàn)C₃的解析式為：y=-（x-1）²-1．
∴直線(xiàn)OA是二、四象限的角平分線(xiàn)，設(shè)B（a，-a），a＞0，
則-a=-（a-1）²-1，
解得a₁=1（舍去），a₂=2，
∴B（2，-2）．
設(shè)P點(diǎn)到OA的距離是h，則h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠ABP=$\frac{h}{PB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象的幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．會(huì)利用方程求拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．