Question

4．2015年秋，由于環(huán)境污染嚴(yán)重，我國(guó)多地出現(xiàn)持續(xù)霧霾，某工廠看到商機(jī)，加急研發(fā)一種專用口罩，工廠接到訂單生產(chǎn)高、中、低檔專用型口罩共2400個(gè)，廠方計(jì)劃由20個(gè)工人一天內(nèi)加工完成，并要求每人只加工一種類型口罩，根據(jù)下表提供的信息，解答下列問(wèn)題：

口罩種類	高檔	中檔	低擋
每人可加工口罩的數(shù)量（個(gè)）	160	120	100
每個(gè)口罩獲利（元）	a	b	5

（1）若工廠安排3人加工高檔口罩、2人加工中檔口罩和安排2人加工高檔口罩、3人加工中檔口罩均獲利4800元，請(qǐng)求a、b的值；
（2）①設(shè)加工高檔口罩的人數(shù)為x，加工中檔口罩的人數(shù)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②如果加工每種類型口罩的人數(shù)均不少于3人，那么加工口罩的人數(shù)安排方案有幾種？并寫出每種安排方案；
③要使此次加工口罩的利潤(rùn)最大，應(yīng)采用②中哪種方案？并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）由利潤(rùn)=生產(chǎn)個(gè)數(shù)×單個(gè)獲利，可列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)生產(chǎn)口罩?jǐn)?shù)=單人生產(chǎn)數(shù)×人數(shù)，可找出關(guān)于x、y的二元一次方程，將x當(dāng)成自變量變形即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)加工每種類型口罩的人數(shù)均不少于3人，列出關(guān)于x、y的二元一次不等式組，解不等式組即可得出x的取值范圍，在此范圍內(nèi)取正整數(shù)即可得出結(jié)論；
③根據(jù)利潤(rùn)=生產(chǎn)個(gè)數(shù)×單個(gè)獲利，找出三種方案下的獲利情況，比較即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{3×160a+2×120b=4800}\\{2×160a+3×120b=4800}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=8}\end{array}\right.$．
（2）①設(shè)加工高檔口罩的人數(shù)為x，加工中檔口罩的人數(shù)為y，則加工低檔口罩的人數(shù)為20-x-y，
根據(jù)已知得：160x+120y+100（20-x-y）=2400，
即y=-3x+20．
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-3x+20．
②由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{y=-3x+20≥3}\\{20-x-y≥3}\end{array}\right.$
解得：3≤x≤$\frac{17}{3}$，
∴x=3，4，5．
∴安排方案有三種：高檔3人，中檔11人，低檔6人；高檔4人，中檔8人，低檔8人；高檔5人，中檔5人，低檔10人．
③第一種方案利潤(rùn)：3×160×6+11×120×8+6×100×5=16440（元）；
第二種方案利潤(rùn)：4×160×6+8×120×8+8×100×5=15520（元）；
第三種方案利潤(rùn)：5×160×6+5×120×8+10×100×5=14600（元）．
∵16440＞15520＞14600，
∴第一種方案利潤(rùn)最大，最大為16440元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二元一次方程組得應(yīng)用、解二元一次不等式組以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）列出關(guān)于a、b的二元一次方程組；（2）①由總量找出x、y間的關(guān)系；②解二元一次不等式組；③求出三種方案的利潤(rùn)并比較大�。�本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程（或方程組）是關(guān)鍵．