Question

如圖1，在△ABC中，E、D分別為AB、AC上的點，且ED//BC，O為DC中點，連結(jié)EO并延長交BC的延長線于點F，則有S四邊形EBCD=S△EBF.

（1）如圖2，在已知銳角∠AOB內(nèi)有一個定點P．過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N．將直線MN繞著點P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線MN滿足某個條件時，△MON的面積存在最小值．直接寫出這個條件:_______________________.

（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A、B、C、P的坐標(biāo)分別為（6，0）、（6，3）、（，）、（4、2），過點P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將四邊形OABC分成兩個四邊形，求其中以點O為頂點的四邊形面積的最大值．

 

 

Answer 1

（1）當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點P是線段MN的中點時，△MON的面積最小；（2）10.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點P是MN的中點時S△MON最小，過點M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；

（2）①如圖3①過點P的直線l 與四邊形OABC 的一組對邊 OC、AB分別交于點M、N，由（1）的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時，△MND的面積最小，此時四邊形OANM的面積最大，S四邊形OANM=S△OAD-S△MND.

②如圖3②，過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，利用S四邊形OCMN=S△OCT-S△MNT，進(jìn)而得出答案．

試題解析：（1）當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點P是線段MN的中點時，△MON的面積最小.

如圖2，過點P的另一條直線EF交OA、OB于點E、F，設(shè)PF＜PE，過點M作MG∥OB交EF于G，

可以得出當(dāng)P是MN的中點時S四邊形MOFG=S△MON．

∵S四邊形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF.

∴當(dāng)點P是MN的中點時S△MON最小.

（2）分兩種情況：

①如圖3①過點P的直線l 與四邊形OABC 的一組對邊 OC、AB分別交于點M、N．

延長OC、AB交于點D，易知AD = 6，S△OAD＝18 ．

由（1）的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時，△MND的面積最小，此時四邊形OANM的面積最大．

過點P、M分別作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分別為P1、M1．

由題意得M1P1=P1A = 2，從而OM1=MM1= 2． 又P(4,2)，B(6,3)

∴P1A=M1P1=O M1=P1P=2，M1 M=OM=2，可證四邊形MM1P1P是正方形．

∴MN∥OA，∠MND=90°，NM=4，DN=4．求得S△MND＝8.

∴ .

② 如圖3②，過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N．

延長CB交x軸于T點，由B、C的坐標(biāo)可得直線BC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 y =－x＋9 ．

則T點的坐標(biāo)為（9，0）．

∴S△OCT=×9×=．

由(1)的結(jié)論知：當(dāng)PM=PN時，△MNT的面積最小，此時四邊形OCMN的面積最大．

過點P、M點分別作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足為P1 ，M1.

從而 NP1 =P1M1，MM1=2PP1=4．

∴點M的橫坐標(biāo)為5，點P（4、2），P1M1= NP1 = 1，TN =6．

∴S△MNT=×6×4=12，S四邊形OCMN=S△OCT-S△MNT = -12=＜10．

綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10．

考點：1.線動旋轉(zhuǎn)問題；2. 正方形的判定和性質(zhì)；3.圖形面積求法；4.分類思想的應(yīng)用.