Question

19．如圖，點P是平行四邊形ABCD對角線BD上的動點，點M為AD的中點，已知AD=8，AB=10，∠ABD=45°，把平行四邊形ABCD繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點P的對應點是點Q，則線段MQ的長度的最大值與最小值的差為18-5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如作AP₁⊥BD垂足為P₁，當AP₁旋轉(zhuǎn)到與射線AD的重合時（點P₁與點E重合），ME就是MQ最小值，當點P₂與B重合時，旋轉(zhuǎn)到與DA的延長線重合時（點P₂與點F重合），此時MF就是MQ最大值，分別求出MQ的最大值與最小值即可解決問題．

解答 解：如圖，作AP₁⊥BD垂足為P₁，
∵∠DBA=45°，AB=10，
∴∠P₁AB=∠DBA=45°，AP₁=P₁B=5$\sqrt{2}$，
∵AM=MD=$\frac{1}{2}$AD=4，
當AP₁旋轉(zhuǎn)到與射線AD的重合時（點P₁與點E重合），ME就是MQ最小值=5$\sqrt{2}$-4，
當點P₂與B重合時，旋轉(zhuǎn)到與DA的延長線重合時（點P₂與點F重合），此時MF就是MQ最大值=AM+AF=14，
∴MQ的最大值與最小值的差=14-（5$\sqrt{2}$-4）=18-5$\sqrt{2}$．
故答案為18-5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意找到MQ最大值與最小值的位置是解題的關(guān)鍵．