Question

4．問題背景：在正方形ABCD的外側(cè)，作△ADE和△DCF，連結(jié)AF、BE．
特例探究：如圖①，若△ADE與△DCF均為等邊三角形，試判斷線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
拓展應(yīng)用：如圖②，在△ADE與△DCF中，AE=DF，ED=FC，且BE=4，則四邊形ABFE的面積為8．

Answer 1

分析 特例探究：易證△ADE≌△DCF，即可證明AF與BE的數(shù)量關(guān)系是：AF=BE，位置關(guān)系是：AF⊥BE；
拓展應(yīng)用：首先證得△ADE≌△CDF，由全等三角形的性質(zhì)可得∠DAE=∠CDF，易得△BAE≌△ADF，可得AE=AF，同特例探究可得AF⊥BE，易得四邊形ABFE的面積為：$\frac{1}{2}•AF•BE$．

解答 解：特例探究：AF=BE，AF⊥BE．
∵四邊形ABCD為正方形，△ADE與△DCF均為等邊三角形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC，AE=AD=CD=DF，∠DAE=∠CDF，
∴∠BAD+∠DAE=∠ADC+∠CDF，即∠BAE=∠ADF，
在△ABE與△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴AF⊥BE；

拓展應(yīng)用：在△ADE與△CDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{AE=DF}\\{CF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SSS），
∴∠DAE=∠CDF，∠ADF=∠ADC+∠CDF=90°+∠CDF，∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+∠EAD，
∴∠ADF=∠BAE，
在△ABE與△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴AF⊥BE，
∴S_{四邊形ABFE}=$\frac{1}{2}•AF•BE=\frac{1}{2}×4×4$=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證得AF=BE，AF⊥BE是解答此題的關(guān)鍵．