Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點（不與B、C重合）．過點P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求AB的長； 
（2）求證：△APB∽△PEC；
（3）若CE=3，求BP的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)等腰梯形性質(zhì)可解題；
（2）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可證得∠BAP=∠EPC，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可證得：△APB∽△PEC；
（3）首先過點A作AF∥CD交BC于點F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，又由△APB∽△PEC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）作AF⊥BC，

則BF=

1

2

（BC-AD）=2，
∵∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴AB=2BF=4．
（2）∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△APB∽△PEC；
（3）過點A作AF∥CD交BC于點F，

∵AD∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠AFB=∠C=∠B=60°，
∴△ABF為等邊三角形，
∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4，
∵△APB∽△PEC，
∴BP：EC=AB：PC，
設(shè)BP=x，則PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，
∴

x

3

=

4

7-x

，
解得：x₁=3，x₂=4，
經(jīng)檢驗：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解，
∴BP的長為：3或4．

點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．