Question

如圖，四邊形ABCD、BEFG均為正方形．
（1）如圖1，連接AG、CE，判斷AG和CE的數(shù)量關系和位置關系并證明．
（2）將正方形BEFG繞點B順時針旋轉β角（0°＜β＜180°），如圖2，連接AG、CE相交于點M，連接MB，求出∠EMB的度數(shù)．
（3）若BE=2，BC=6，連接DG，將正方形BEFG繞點B順時針旋轉β角（0°＜β＜180°），則在這個旋轉過程中線段DG長度的取值范圍

 

（直接填空，不寫過程）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),旋轉的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件證明Rt△GBA≌Rt△EBC可得出AG=CE，且∠GAB=∠BCE，可判定出其位置關系；
（2）過B作BP⊥EC，BQ⊥MA，垂足分別為P、Q，證明△BPE≌△BQG可得BP=BQ，而可知PM=BQ，所以可得出△BPM為等腰直角三角形，可求出∠EMB的度數(shù)；
（3）當點G在線段BD上時最短，當在初始位置時，DG最大，利用勾股定理可求得其長度，但旋轉不到180°，可得出其范圍．

解答：解：（1）AG=CE，AG⊥CE，證明如下：
∵四邊形ABCD、BEFG均為正方形，
∴∠GBA=∠EBC=90°，BG=BE，BA=BC，
在△GBA和△EBC中，

BG=BE ∠GBA=∠EBC BA=BC

，
∴△GBA≌△EBC（SAS），
∴AG=CE，∠GAB=∠BCE，
∴∠BGA+∠BCE=∠BGA+∠GAB=90°，
∴AG⊥CE；
（2）如圖，過B作BP⊥EC，BQ⊥MA，垂足分別為P、Q，

可知四邊形BPMQ為矩形，
∴∠PBE+∠PBG=∠QBG+∠PBG=90°，
∴∠PBE=∠QBG，
在△BPE和△BQG中，

∠BPE=∠QBG ∠BPE=∠BQG BE=BQ

，
∴△BPE≌△BQG（AAS），
∴BP=BQ，且BQ=PM，
∴BP=PM，
∴△BPM為等腰直角三角形，
∴∠PMB=45°；
（3）當在初始位置時，DG最大，此時GC=6+2=8，CD=6，由勾股定理可求得DG=10，
當G點在線段BD上時，DG最小，此時BG=2，BD=6

2

，所以DG=6

2

-2，而旋轉角取不到180°，
所以DG的范圍為：6

2

-2≤DG＜10，
故答案為：6

2

-2≤DG＜10．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及正方形的性質(zhì)的應用，（2）中構造三角形全等、（3）中確定出最大值和最小值的位置是解題的關鍵．