Question

18．知圖，△ACB為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，BD⊥AE，垂足為D點．
（1）求證：AE=2BD；
（2）求∠ADC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）延長AC和BD相交于點F，由直角三角形的性質得出∠AEC=∠F，由AAS證明△ACE≌△BCF，得出對應邊相等AE=BF，證出∠F=∠ABD，得出AB=AF，由等腰三角形的三線合一性質得出BD=FD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AE，即可得出結論；
（2）由等腰直角三角形的性質得出∠ABC=45°，證出A、B、D、C四點共圓，由圓周角定理得出∠ADC=∠ABC=45°即可．

解答 （1）證明：延長AC和BD相交于點F，如圖所示：
則∠BCF=180°-∠ACB=90°，
∵BD⊥AE于D，
∴∠ADF=∠ADB=90°，
∴∠F+∠CAE=90°，
∵∠AEC+∠CAE=90°，
∴∠AEC=∠F，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCF=90°}&{\;}\\{∠AEC=∠F}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠F+∠CAE=90°，∠ABD+∠BAE=90°，
∴∠F=∠ABD，
∴AB=AF，
∵BD⊥AE于D，
∴BD=FD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AE，
∴AE=2BD；
（2）解：∵∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，A、B、D、C四點共圓，
∴∠ADC=∠ABC=45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、四點共圓、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，需要通過作輔助線證明三角形全等和四點共圓才能得出結論．