Question

10．如圖，CB，CD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是B，D，CD的延長(zhǎng)線于⊙O的直徑BE的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)A，AD=2，CD=8，則AE的長(zhǎng)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 連接OD，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，先根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)得CD=CB=8，BC⊥AB，OD⊥AC，再利用勾股定理計(jì)算出AB，接著證明△AOD∽△ACB，利用相似比計(jì)算出r，然后計(jì)算AB-BE就即可．

解答 解：連接OD，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵CB，CD是⊙O的切線，
∴CD=CB=8，BC⊥AB，OD⊥AC，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵∠OAD=∠CAB，
∴△AOD∽△ACB，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{r}{8}$=$\frac{2}{6}$，解得r=$\frac{8}{3}$，
∴AE=AB-BE=6-2×$\frac{8}{3}$=$\frac{2}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．解決本題的關(guān)鍵是求出AB的長(zhǎng)．