Question

19．如圖．AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F(xiàn)為劣弧AD上一點，BF交CD于點C，過點F作⊙O的切線，交CD的延長線于H．
（1）求證：FH=GH；
（2）若AB=2FH=10，tan∠FGH=2，求AG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OF，由切線的性質(zhì)得出∠OFH=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OFB=∠OBF；由∠HEG、∠EGB都與∠OFB互余可得出兩角相等，結(jié)合對頂角相等，即可得出∠GFH=∠FGH，由此可證出FH=GH；
（2）過H作HM⊥GF于點M，連接AF，GM=a，AF=b，結(jié)合已知條件根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于a和b的一元一次方程解方程即可求出a，b值；再根據(jù)直徑對的圓周角為直角，在Rt△AFG中由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OF，如圖1所示．

∵HF與⊙O相切于點F，
∴∠OFH=90°，
∴∠GFH=90°-∠OFB．
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠OBF．
∵AB⊥CD于E，
∴∠BEG=90°，
∴∠BGE=180°-∠BEG-∠EBG=90°-∠OBF．
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∴∠GFH=∠BGE，
又∵∠BGE=∠FGH，
∴∠GFH=∠FGH，
∴FH=GH．
（2）解：過H作HM⊥GF于點M，連接AF，如圖2所示．

∵AB=2FH=10，tan∠FGH=2，
∴設(shè)GM=a，AF=b，
則HM=GF=2a，BF=2b，
由勾股定理得：GH=$\sqrt{G{M}^{2}+H{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$a=5，AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$b=10，
∴a=$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$，
∴AF=2$\sqrt{5}$，GF=2a=2$\sqrt{5}$．
∵AB為直徑，
∴∠AFG=90°，
∴AG=$\sqrt{A{F}^{2}+G{F}^{2}}$=
∴AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）通過邊角關(guān)系找出∠GFH=∠FGH；（2）通過解直角三角形找出AF、GF的長．本題屬于中檔題，（1）難度不大；（2）有點難度，解決該問時，通過設(shè)未知數(shù)解方程得出線段的長度．