Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C為y軸上一點(diǎn)，且B是線段OC的中點(diǎn)．
（1）求直線AC的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AO方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線L分別交射線AB和射線AC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，設(shè)線段EF的長d（d≠0），求d與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)B和點(diǎn)C分別作x軸的平等線m和n，連接PB并延長PB交直線n于點(diǎn)Q，點(diǎn)R為直線m上的任意一點(diǎn)，是否存在t值，使△PQR以PR為底邊的等腰直角三角形，若存在，請求出t的值，并求出此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線AB的解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B是線段OC的中點(diǎn)即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此即可得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，進(jìn)而即可得出d與t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可得出t的取值范圍；
（3）假設(shè)存在，過點(diǎn)P作PM⊥n于點(diǎn)M，過點(diǎn)R作PN⊥n于點(diǎn)N，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算即可證出△PQM≌△QRN，從而可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之求出t值，進(jìn)而可求出點(diǎn)R的坐標(biāo)．

解答 解：（1）令y=$\frac{1}{2}$x+2中x=0，則y=2，
∴B（0，2）；
令y=$\frac{1}{2}$x+2中y=0，則x=-4，
∴A（-4，0）．
∵B是線段OC的中點(diǎn)，
∴C（0，4）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
將A（-4，0）、C（0，4）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直線AC的解析式為y=x+4．
（2）依照題意畫出圖形，如圖1所示．
∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AO方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴P（2t-4，0），
∵點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在直線AC上，且PF⊥x軸，
∴E（2t-4，t），F(xiàn)（2t-4，2t），
∴d=EF=2t-t=t．
∴d與t的函數(shù)關(guān)系式為d=t（t≥0）．
（3）假設(shè)存在，過點(diǎn)P作PM⊥n于點(diǎn)M，過點(diǎn)R作PN⊥n于點(diǎn)N，如圖所示．
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為（2t-4，0），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4-2t，4），
∴QM=|（4-2t）-（2t-4）|．
∵△PQR以PR為底邊的等腰直角三角形，
∴PQ=RQ，∠PQR=90°，
∴∠PQM=90°-∠RQN=∠QRN．
在△PQM和△QRN中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N=90°}\\{∠PQM=∠QRN}\\{PQ=QR}\end{array}\right.$，
∴△PQM≌△QRN，
∴QM=RN，PM=QN，
∴QM=2，QN=4，
即|（4-2t）-（2t-4）|=2，解得：t=1.5或t=2.5，
當(dāng)t=1.5秒時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（1+4，2），即（5，2）；
由對稱行可得出當(dāng)t=2.5時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（-1-4，2），即（-5，2）．
∴存在t值，使△PQR以PR為底邊的等腰直角三角形，此時(shí)t為1.5秒或2.5秒，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（5，2）或（-5，2）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；（2）用含時(shí)間t的代數(shù)式表示出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出t值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．