Question

E點(diǎn)是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知DE⊥AD，∠CBE=∠CDE，∠BCE=45°，延長(zhǎng)CE交AD．BA的延長(zhǎng)線于F，G．求證：BCDF是等腰梯形．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的判定

專題：證明題,幾何綜合題

分析：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CF交BC與H，判斷出△CEH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CE=EH，再求出∠CED=∠HED=135°，然后利用“邊角邊”證明△CDE和△HDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD=DH，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CDE=∠HDE，然后求出∠CBE=∠HDE，再利用“角角邊”證明△BEH和△DHE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=DE，再求出BH=DF，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形的平行四邊形得到四邊形BHDF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可得BF=DH，從而得到BF=CD，再根據(jù)等腰梯形的定義證明即可．

解答：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CF交BC與H，
∵∠BCE=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴CE=EH，
∵平行四邊形ABCD對(duì)邊AD∥BC，
∴∠DFE=∠BCE=45°，
∵DE⊥AD，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=DF，∠DEF=45°，
∴∠CED=∠HED=135°，
在△CDE和△HDE中，

CE=EH ∠CED=∠HED=135° DE=DE

，
∴△CDE≌△HDE（SAS），
∴CD=DH，∠CDE=∠HDE，
∵∠CBE=∠CDE，
∴∠CBE=∠HDE，
在△BEH和△DHE中，

∠CBE=∠HDE ∠BHE=∠DEH=135° EH=HE

，
∴△BEH≌△DHE（AAS），
∴BH=DE，
又∵DE=DF，
∴BH=DF，
∵AD∥BC，
∴四邊形BHDF是平行四邊形，
∴BF=DH，
∴BF=CD，
∵AD∥BC，
∴BCDF是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，難度較大，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．